여성은 언제까지 남자의 프로포즈를 튕길 수 있을지...

확률에 관한 짧은 지식으로 여성의 튕김의 끝은 어디인지 밝혀본다.
상황 설정은 이러하다.
한 여성에게 100명의 남자가 순차적으로 프로포즈 한다고 하자.
100명 중 백마탄 왕자는 한명 뿐이고, 여성는 그 남자를 찾고 싶어한다.
물론 그가 첫번째로 프로포즈할지 100번째로 프로포즈를 해 올지는 알 수 없을 것이다.
여자가 100명의 남자 중 제일 멋진 남자를 고른다는 건 너무 불공평하니까 한번 프로포즈한 남자를 튕기면 다시는 그 남자는 선택할 수 없다고 하자.
즉 만약 더 나은 남자가 있을 거라는 기대감에 99명의 남자를 차례로 튕겨버렸다면 100번째 프로포즈하는 남자와 결혼하는 수 밖에 없다.
물론 첫번째 남자의 프로포즈를 받아들이면 99명의 남자가 어떤 남자인지 보지도 못한다.
그러면 여자에게는 전략이 필요하다.
<몇명까지는 일단 튕겨보고 그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하자.>
여자는 몇명까지 튕겨보는게 가장 합리적인 전략이 될까?

(풀이 과정)
조건부 확률을 생각해 볼 수 있다.
b : 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률.
a1 : 백마탄 왕자가 첫번째로 프로포즈해올 확률.
a2 : 백마탄 왕자가 두번째로 프로포즈해올 확률.
.
.
a100 : 백마탄 왕자가 백번째로 프로포즈해올 확률.
그러면 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률은 다음과 같이 표현된다.
p(b) = p(a1)*p(b/a1) + p(a2)*p(b/a2) + ... +p(a100)p(b/a100) ----(1)
이제 우리의 여성이 r명까지는 일단 튕겨보고 그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하기로 했다고 하자.
그러면 p(b/a1)=0, p(b/a2)=0, ..... , p(b/ar)=0 이다. (당연히...최초r명 안에 백마탄 왕자가 있었다면, r명까지는 튕기기로 한 여자의 작전은 완전...실패당.)
p(b/a(r+1))=1=r/r (당연히 r+1번째로 백마탄 왕자가 프로포즈 해 왔다면 r명까지 튕긴 여자는 이전에 본 r명보다 더 멋진 남자를 바로 만나버린 거니까 백마탄 왕자 픽업할 확률은 100%다.)
p(b/a(r+2))=r/(r+1)
p(b/a(r+3))=r/(r+2)
...
p(b/a(99))=r/99
p(b/a(100))=r/100
r+2번째에 백마탄 왕자가 있는데 r+1번째 프로포즈 한 남자가 이전에 튕긴 r명보다나은 남자였다면, 여자는 최초세운 전략상 그냥 r+1번째 남자의 프로포즈를 받아들이게 되고 그러면 r+2번째 남자는 보지도 못하니까, 여자의 입장에서는 또 전략상 실패다.
따라서 r+2번째 남자(백마탄 왕자)의 프로포즈를 받기 위해서는 r+1번째 남자가 기존의 r명보다 나은 남자여서는 안될 것이다.
다시 말해 백마탄 왕자보다 앞서서 프로포즈 하는 남자중 가장 괜찮은 남자가 r번째이전(r번째 포함)에 여자에게 프로포즈를 하면 된다.
r+1번째에만 있지 않으면 된다. 1,2,3,...,r,r+1번째 중 r+1번째만 아니면 되니까 확률은 r/(r+1)이다.
같은 방식으로 백마탄 왕자가 r+3번째로 프로포즈를 한다면 r+1번째 r+2번째에 여자가 프로포즈를 받아들여버리면 안된다.
그러려면 백마탄 왕자 이전의 남자들 중 가장 멋진 남자가 r번재 이전(r번째 포함)에 있으면 된다.
그러면 r+1번째, r+2번째 남자가 r번째까지의 남자보다 멋질 수 없으므로 여성는 r+3번째 남자가 어떤지 살필 기회를 갖게 된다.
확률은 r/(r+2) 이런 식으로 동일 한 풀이 과정을 거치면 백마탄 왕자가 백번째로 프로포즈 해올때 여자가 백번까지 기다려서 그 왕자를 선택할 확률은 r/100

이 결과를 (1)식에 대입하면 ..100....1.......r sigma --- * --- ..x=r..100.......x
이것이다! 드디어 r에 관한 함수가 나왔다.
항수가 많으니까 그냥 연속적으로 생각해서 적분을 하자.
.......................1.......r
integral r->100 --- * --- dx
......................100......x
...r.........100
= --- [lnx]
..100........r
어차피 우리는 위의 값을 최대로 만드는 r값을 찾는거니까, 그리고 상수항과 계수는 신경 안써도 되니까
d --[ r{ln100} - r {ln r } ]= 0 을 만드는 r을 찾자.
dr

(답)
r = 37

답이 나왔다. 37명이다.
보통 한 여자에게 프로포즈하는 남자의 숫자가 10명이라고 하면
여자는 최초 3명까지는 튕겨볼 수 있어도 4명부터는 튕겨서는 안된다는 계산이
나온다. 그냥 괜찮다 싶으면 잡아야 된다는 것이다. 솔직히 10명도 많다.
보통 여성에게 프로포즈 하는 남자가 5명쯤 된다면 최초 한명 쯤은 공주병 환자처럼 튕겨볼 수 있으나 두번째 남자가 프로포즈해올 경우...
첫번째 남자보다 낫기만 하다면 프로포즈를 받아들여야 한다는 것이다. 거부할수 없다면 받아들이고 즐겨라..